分析:(1)取AB
1的中點G,連接EG,F(xiàn)G.根據(jù)三角形中位線定理,得出FG∥B
1B且FG=
B
1B,又因為矩形BB
1C
1C中,EC∥B
1B且EC=
B
1B,所以EC與FG平行且相等,四邊形FGEC是平行四邊形,CF∥EG,從而得到CF∥平面AEB
1.
(2)根據(jù)題意,計算出梯形ECBB
1的面積,結(jié)合AC⊥平面ECBB
1和錐體體積公式,即可算出四棱錐A-ECBB
1的體積.
解答:解:(1)CF∥平面AEB
1,證明如下:
取AB
1的中點G,連接EG,F(xiàn)G
∵△A
1AB中,F(xiàn)、G分別是棱AB、AB
1中點
∴FG∥B
1B且FG=
B
1B
又∵矩形BB
1C
1C中,EC∥B
1B且EC=
B
1B
∴EC∥FG且EC=FG,得四邊形FGEC是平行四邊形
∴CF∥EG
又∵CF?平面AEB
1,EG?平面AEB
1,
∴CF∥平面AEB
1.
(2)∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,
∴BB
1⊥平面ABC,
又∵AC?平面ABC,∴AC⊥BB
1
∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,而且BB
1、BC是平面ECBB
1內(nèi)的相交直線
∴AC⊥平面ECBB
1 ∵E是棱CC
1的中點,得EC=
AA
1=2
∴S
梯形ECBB1=
(EC+BB
1)BC=
(2+4)×2=6
∴四棱錐A-ECBB
1的體積V=
S
梯形ECBB1×AC=
×6×2=4
點評:本題在直三棱柱中探索線面平行,并求錐體體積公式,著重考查線面平行的判定、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識,屬于中檔題.