Question

已知函數(shù)f（x）=x+sinx
（I）當(dāng)x∈[0，π]時，求f（x）的值域；
（II）設(shè)g（x）=f′（x）-1，若g（x）≥1+ax²在[0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x+sinx
∴f′（x）=1+cosx≥0恒成立，
∴f（x）=x+sinx在x∈[0，π]上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值0，當(dāng)x=π時，函數(shù)取最大值π
所以函數(shù)f（x）的值域為[0，π]…．
（Ⅱ）由（I）得g（x）=f′（x）-1=cosx，
記h（x）=cosx-ax²-1，則h′（x）=-sinx-2ax．
當(dāng)a≤-時，h′（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
又h′（x）=0，故h′（x）≥0．從而h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h（x）≥h（0）=0，即cosx≥1+ax²在[0，+∞）上恒成立…．
當(dāng)a＞時，h′（x）=-1-2a＜0
∴?x₀＞0，使x∈（0，x₀）時，h′（x）＜0．
所以h′（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，從而h′（x）≤h′（0）=0，
故h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，h（x）＜h（0）=0這與已知矛盾． …
綜上，故a的取值范圍為a≤-． …．
分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，進而確定函數(shù)在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性，分析出函數(shù)在區(qū)間[0，π]上的最值后，可得f（x）的值域；
（II）求出函數(shù)g（x）的解析式，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-ax²-1，對a進行分類討論，確定函數(shù)h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的值域，能熟練的利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，進而分析出函數(shù)的極值和最值是解答的關(guān)鍵．