已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R．
(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．

(1) 證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b. 由f(x)的單調(diào)性得f(a)≥f(－b) 又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a) 兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) (2) 逆命題成立，假設(shè)a＋b<0，那么，⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) 這與已知矛盾，故只有a＋b≥0

解析試題分析：(1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.           2分
由已知f(x)的單調(diào)性得f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．         4分
兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．         6分
(2)逆命題：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.           8分
下面用反證法證之．
假設(shè)a＋b<0，那么：


⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．          10分
這與已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命題得證．          12分
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與反證法
點(diǎn)評：單調(diào)性的定義：在定義域的某個(gè)區(qū)間上，若有則函數(shù)為增函數(shù)，若有則函數(shù)為減函數(shù)；反證法證明的大體步驟：假設(shè)要證明的結(jié)論反面成立，借此推出與已知或定理發(fā)生矛盾，推翻假設(shè)肯定原結(jié)論成立

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（I）若，求在處的切線方程；
（II）求在區(qū)間上的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)；
（1）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）已知不等式對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若對于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的遞增區(qū)間是
① 求的值。
② 設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)定義在上，對于任意的，有，且當(dāng)時(shí)，.
（1）驗(yàn)證函數(shù)是否滿足這些條件；
（2）若，且，求的值．
（3）若，試解關(guān)于的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知．
(1) 求函數(shù)在上的最小值；
(2) 對一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3) 證明：對一切，都有成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的奇函數(shù), 且當(dāng)x∈(0, 1)時(shí), f (x)＝.
（1）求f (x)在[－1, 1]上的解析式;  
（2）證明f (x)在(—1, 0)上時(shí)減函數(shù);
（3）當(dāng)λ取何值時(shí), 不等式f (x)＞λ在R上有解?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知正比例函數(shù)y=2x的圖像l1與反比例函數(shù)y=的圖像相交于點(diǎn)A(a，2)，將直線l1向上平移3個(gè)單位得到的直線l2與雙曲線相交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在第一象限)，與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△DOB的面積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案