Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點(diǎn)，求二面角M-AD-B的平面角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三線合一可得AD⊥PQ，AD⊥BQ，故而AD⊥平面PQB；
（2）取PB的中點(diǎn)N，連接MN，AN，QN，則∠BQN為二面角的平面角，根據(jù)△PBQ是等腰直角三角形得出∠BQN的大小．

解答 證明：（1）連DB，
∵PA=PD，Q為中點(diǎn)，∴AD⊥PQ
在△ADB中，AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，又Q為AD的中點(diǎn)，
∴AD⊥BQ，
又PQ∩BQ=Q，PQ?平面PQB，BQ?平面PQB，
∴AD⊥平面PQB．
解：（2）取PB的中點(diǎn)N，連接MN，AN，QN，
則MN∥BC∥AD，
∴MN?平面MAD，
由（1）可知AD⊥平面PBQ，QN?平面PBQ，
∴AD⊥QN，又AD⊥QB，
∴∠NQB是二面角M-AD-B的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABD，
∴PQ⊥QB，又△ADP和△ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴PQ=BQ，∠PBQ=45°，
∵N是PB的中點(diǎn)，∴QN=$\frac{1}{2}$PB=BN，
∴∠NQB=∠NBQ=45°．
即二面角M-AD-B的平面角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間角的計(jì)算，作出二面角的平面角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．