Question

7．設實數a∈R，函數$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函數．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）當x∈（-1，1）時，求滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數奇偶性的定義求出a的值即可，
（Ⅱ）根據條件判斷函數的單調性，利用函數奇偶性和單調性的性質進行轉化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因為函數$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函數，所以f（0）=0．（2分）
即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，解得a=1．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
因為f（x）是R上的奇函數，由f（1-m）+f（1-m²）＜0，
得f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1）．（5分）
下面證明f（x）在R是增函數．
設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{1-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}}）-（{1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}}）=\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$（6分）
因為x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，而${2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
所以$\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），所以$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的增函數．（8分）
當x∈（-1，1）時，由f（1-m）＜f（m²-1）得$\left\{\begin{array}{l}-1＜1-m＜1\\-1＜{m^2}-1＜1\\ 1-m＜{m^2}-1\end{array}\right.$，（10分）
解得$1＜m＜\sqrt{2}$．
所以，當x∈（-1，1）時，滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實數m的取值范圍是$（1，\sqrt{2}）$．（12分）

點評 本題主要考查不等式的求解，利用函數奇偶性的性質求出函數的解析式以及利用函數單調性和奇偶性將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．