Question

19．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≤4\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=x-3y的取值范圍為（　�。�

• A． [-12，1]
• B． [-12，0]
• C． [-2，4]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的截距，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由z=x-3y得y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
平移直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$經(jīng)過點(diǎn)C（4，0）時(shí)，直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$的截距最小，
此時(shí)z最大，此時(shí)z=4，
經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線截距最大，此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
代入目標(biāo)函數(shù)z=x-3y，
得z=$\frac{5}{2}$-3×$\frac{3}{2}$=-2，
即-2≤z≤4，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．