Question

9．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，P是橢圓上一點，M在PF₁上，且滿足$\overrightarrow{{F_1}M}=λ\overrightarrow{MP}$（λ∈R），PO⊥F₂M，O為坐標(biāo)原點．
（1）若橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}$=1，且P（2，$\sqrt{2}$），求點M的橫坐標(biāo)；
（2）若λ=2，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程求得焦點坐標(biāo)，求得OP，MF₁，MF₂，的斜率，求得直線F₁M的方程，F(xiàn)₂M的方程，求得交點，即可得到所求M的橫坐標(biāo)；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x_M，y_M），運(yùn)用向量的坐標(biāo)和向量共線和垂直的條件，再由橢圓的性質(zhì)可得-a＜x₀＜a，解不等式即可得到所求離心率的范圍．

解答 解：（1）∵橢圓的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴${k_{OP}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{k_{{F_2}M}}=-\sqrt{2}，{k_{{F_1}M}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直線F₂M的方程為：$y=-\sqrt{2}（x-2）$，直線F₁M的方程為：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x+2）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}（x-2）}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x+2）}\end{array}}\right.$解得：$x=\frac{6}{5}$，
∴點M的橫坐標(biāo)為$\frac{6}{5}$；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x_M，y_M），
∵$\overrightarrow{{F_1}M}=2\overrightarrow{MP}$∴$\overrightarrow{{F_1}M}=\frac{2}{3}（{x_0}+c，{y_0}）=（{x_M}+c，{y_M}）$
∴$M（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{1}{3}c，\frac{2}{3}{y_0}），\overrightarrow{{F_2}M}=（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{4}{3}c，\frac{2}{3}{y_0}）$，
∵PO⊥F₂M，$\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）$
∴$（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{4}{3}c）{x_0}+\frac{2}{3}{y_0}^2=0$
即${x_0}^2+{y_0}^2=2c{x_0}$，
聯(lián)立方程得：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=2c{x}_{0}}\\{^{2}{{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，消去y₀得：
${c^2}{x_0}^2-2{a^2}c{x_0}+{a^2}（{a^2}-{c^2}）=0$，
解得：${x_0}=\frac{a（a+c）}{c}$或 ${x_0}=\frac{a（a-c）}{c}$，
∵-a＜x₀＜a，∴x₀=$\frac{a（a-c）}{c}$∈（0，a），
∴0＜a²-ac＜ac解得：$e＞\frac{1}{2}$，
綜上，橢圓離心率e的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，同時考查解方程和解不等式的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．