Question

4．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點P（2，3），離心率e=$\frac{1}{2}$，直線1的方程為y=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）AB是經過（0，3）的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃．問：是否存在常數(shù)λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{3}}$？若存在，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將點P（2，3）代入橢圓方程，結合離心率計算即得結論；
（Ⅱ）分AB斜率存在、不存在兩種情況討論，結合韋達定理計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C經過點P（2，3），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
∴a²=16，b²=12，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）結論：存在常數(shù)λ=2，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2}{{k}_{3}}$．
理由如下：
①當AB斜率存在時，不妨設為y=kx+3，
聯(lián)立直線AB與橢圓方程，消去y整理得：（3+4k²）x²+24kx-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-2}{{y}_{1}-3}$+$\frac{{x}_{2}-2}{{y}_{2}-3}$
=$\frac{{x}_{1}-2}{k{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}-2}{k{x}_{2}}$
=$\frac{1}{k}$[（1-$\frac{2}{{x}_{1}}$）+（1-$\frac{2}{{x}_{2}}$）]
=$\frac{2}{k}$（1-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
=$\frac{2}{k}$（1-$\frac{-24k}{-12}$）
=$\frac{2}{k}$-4，
令y=4，則kx+3=4，從而M（$\frac{1}{k}$，4），
則$\frac{λ}{{k}_{3}}$=λ•$\frac{2-\frac{1}{k}}{3-4}$=$\frac{λ}{k}$-2λ，
∵$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{3}}$，
∴對比可知λ=2；
②當AB斜率不存在時，不妨設A（0，2$\sqrt{3}$），B（0，-2$\sqrt{3}$），M（0，4），
則$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2-0}{3-2\sqrt{3}}$+$\frac{2-0}{3+2\sqrt{3}}$=-4，
$\frac{1}{{k}_{3}}$=-2，當λ=2時也成立；
綜上所述，存在常數(shù)λ=2，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2}{{k}_{3}}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．