Question

若橢圓E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和橢圓E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1滿足

a2

a1

=

b2

b1

=m(m＞0)，則稱這兩個橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過（2，

6

)且與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點的一條射線l分別與（Ⅰ）中的兩橢圓交于A、B兩點（點A在線段OB上）．
①若P是線段AB上的一點，若|OA|，|OP|，|OB|成等比數(shù)列，求P點的軌跡方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓的方程為：

x2

a 2

+

y2

b 2

=1，結(jié)合題目條件可求得a²=16，b²=8；
（Ⅱ）①對過原點的一條射線l的斜率分存在與不存在進(jìn)行討論，不存在時可求得點P的坐標(biāo)，存在時設(shè)出直線l的方程為：y=kx，P（x，y），由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則

y1=kx1 x 2 1 4 + y 2 1 2 =1

，從而可得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

，于是有：
|OA|=

2 1+k2

1+2k2

，同理|OB|=

4 1+k2

1+2k2

，又點P在l上，則k=

y

x

，代入即可求得P點的軌跡方程；
②由①可知，當(dāng)l的斜率不存在時，|OA|•|OB|=4，當(dāng)l的斜率存在時，可求得|OA|•|OB|=4+

4

1+2k2

，從而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)與

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓的方程

x2

a 2

+

y2

b 2

=1．
則有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

…（3分）
解得a²=16，b²=8．
所求方程是

x2

16

+

y2

8

=1．…（4分）
（Ⅱ）  ①當(dāng)射線l的斜率不存在時A(0，±

2

)，B(0，±2

2

)，
設(shè)點P坐標(biāo)P（0，y₀），則y₀²=4，y₀=±2．即P（0，±2）．…（5分）
當(dāng)射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則

y1=kx1 x 2 1 4 + y 2 1 2 =1

得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

∴|OA|=

2 1+k2

1+2k2

同理|OB|=

4 1+k2

1+2k2

…（7分）
又點P在l上，則k=

y

x

，且由x2+y2=

8(1+k2)

1+2k2

=

8(1+ y2 x2 )

1+2 y2 x2

=

8(x2+y2)

x2+2y2

，
即所求方程是

x2

8

+

y2

4

=1．
又∵（0，±2）適合方程，
故所求橢圓的方程是

x2

8

+

y2

4

=1．…（9分）
②由①可知，當(dāng)l的斜率不存在時，|OA|•|OB|=

2

•2

2

=4，當(dāng)l的斜率存在時，|OA|•|OB|=

8(1+b2)

1+2k2

=4+

4

1+2k2

，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，消參法求點的軌跡，難點在于直線與橢圓的綜合分析與應(yīng)用，思維深刻，運算復(fù)雜，難度大，屬于難題．