Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（1）若f（x）在（2，3）上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在（2，3）上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：由f（x）=x³-ax²，得f′（x）=3x²-2ax=3x（x-）．
（1）若f（x）在（2，3）上單調(diào)，則≤2，或≥3，解得：a≤3，或a≥．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]∪[，+∞）．
（2）若f（x）在（2，3）上不單調(diào)，則有2＜＜3，解得：3＜a＜．
∴實數(shù)a的取值范圍是（3，）．
分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到導函數(shù)為0的x值是0和根據(jù)f（x）在（2，3）上單調(diào)，則說明其中的一個根不在（2，3）內(nèi)，由此列不等式可解實數(shù)a的取值范圍；
（2）f（x）在（2，3）上不單調(diào)，說明其中的一個根在（2，3）內(nèi)，由此列不等式可解實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，說明其導函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無解，若一個函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)不單調(diào)的條件是導函數(shù)有不等根且至少有一根在該區(qū)間內(nèi)，此題是中檔題．