Question

8．（Ⅰ）求證：lnx≥1-$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：ln（n+1）＞$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}$（n∈N₊）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值推出結(jié)果．
（Ⅱ）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，結(jié)合分析法以及（1）的結(jié)論證明即可．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，
則$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$．
所以當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
所以f（x）_min=f（1）=0，
所以$lnx≥1-\frac{1}{x}$．…（4分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊為ln2，右邊為$\frac{1}{2}=ln\sqrt{e}$，顯然$ln2＞ln\sqrt{e}$，所以左＞右；
…（6分）
（2）假設(shè)n=k（k∈N₊）時(shí)，有$ln（k+1）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}$，…（7分）
現(xiàn)欲證$ln（k+2）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}$，
只需證明$ln（k+1）＜ln（k+2）-\frac{1}{k+2}$，只需證明$ln（\frac{k+2}{k+1}）＞\frac{1}{k+2}=1-\frac{k+1}{k+2}=1-\frac{1}{{\frac{k+2}{k+1}}}$，
由（Ⅰ）可得x≠1時(shí)，恒有$lnx＞1-\frac{1}{x}$，因?yàn)?\frac{k+2}{k+1}≠1$，所以$ln（\frac{k+2}{k+1}）＞1-\frac{1}{{\frac{k+2}{k+1}}}$成立．
…（11分）
所以$ln（k+1+1）=ln（k+2）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+1+1}$
綜合（1），（2）可得$ln（n+1）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}$（n∈N₊）成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．