Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(

π

8

x+

π

4

)+1．
（Ⅰ）在所給的坐標(biāo)紙上作出函數(shù)y=f（x），x∈[-2，14]的圖象（不要求作圖過程）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），x∈R，求函數(shù)y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 令

π

8

x+

π

4

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π 這五個值，求出對應(yīng)的x，y值，以這五個x，y值作為點(diǎn)的坐標(biāo)
在坐標(biāo)系中描出，即得函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．
（Ⅱ） 利用誘導(dǎo)公式和兩角和差的三角公式，把g（x）化為 2

2

cos（

π

8

x）+2，利用余弦函數(shù)的有界性求出
函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示：令

π

8

x+

π

4

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π 這五個值，根據(jù) y=f(x)=2sin(

π

8

x+

π

4

)+1求出
對應(yīng)的x，y值，以這五個x，y值作為點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中描出：（-2，1）、（2，3）、（6，1）、（10，-1）、
（14，1），即得函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+f（-x）=sin（

π

8

x+

π

4

）+1+2sin（-

π

8

x+

π

4

）+1 
=2sin（

π

8

x+

π

4

）-2sin（

π

8

x-

π

4

）+2=2

2

cos（

π

8

x）+2，
故當(dāng)

π

8

x=2kπ，即x=16kπ，k∈z 時，函數(shù) g（x）取最大值2

2

+2．

點(diǎn)評：本題考查用五點(diǎn)法作函數(shù) y=Asin（ωx+∅）的圖象，誘導(dǎo)公式，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，利用余弦函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值．