Question

已知向量

a

=(1， -3)，  

b

=(-2，  m)，且

a

⊥(

a

-

b

)．
（1）求實數(shù)m和

a

與

b

的夾角；
（2）當(dāng)k

a

+

b

與

a

-

b

平行時，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意先求

a

-

b

=（3，-3-m），再由

a

⊥(

a

-

b

)得

a

•(

a

-

b

)=0建立m的方程即可求得m的值，進(jìn)而由公式求得

a

與

b

的夾角；
（2）先求出k

a

+

b

與

a

-

b

的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示公式即可求得k的值．

解答：解：（1）由題意

a

-

b

=（3，-3-m），由

a

⊥(

a

-

b

)得

a

•(

a

-

b

)=0
所以3+9+3m=0，解得m=-4，即

b

=(-2，  -4)
所以cos＜

a

，

b

＞=

1×(-2)+(-3)×(-4)

12+(-3)2 × (-2)2+(-4)2

=

2

2

又0≤＜

a

，

b

＞≤π，所以

a

與

b

的夾角為

π

4

…5分
（2）k

a

+

b

=（k-2，-3k-4），

a

-

b

=（3，1）
當(dāng)k

a

+

b

與

a

-

b

平行時，有k-2-3（-3k-4）=0
解得k=-1…9分

點評：本題考查向量的平行與垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握垂直與平行的條件是解題的關(guān)鍵