Question

12．△ABC在內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c；向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，a）與$\overrightarrow{n}$=（sinB，$\sqrt{3}$b）平行．
（1）求A；
（2）若$a=\sqrt{7}，b=2$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行，列出方程，利用正弦定理，化簡(jiǎn)求解即可．
（2）利用余弦定理求出c，然后利用面積公式求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)橄蛄?\overrightarrow{m}$=（cosA，a）與$\overrightarrow{n}$=（sinB，$\sqrt{3}$b）平行， 所以$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$， 由正弦定理，得$sinAsinB-\sqrt{3}sinBcosA=0$， 又sinB≠0，從而$tanA=\sqrt{3}$， 由于0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$，
（2）由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
而$a=\sqrt{7}，b=2，A=\frac{π}{3}$，
得7=4+c²-2c，即c²-2c-3=0，
因?yàn)閏＞0，所以c=3．
故△ABC的面積為$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．