1.設(shè)數(shù)列{an}滿足對(duì)任意m,n∈N*總有am+n=aman成立,且a1=2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且bn=log2an,試求數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)數(shù)列{an}滿足對(duì)任意m,n∈N*總有am+n=aman成立,且a1=2.可得an+1=a1an=2an,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)bn=log2an=n.可得Sn,$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.再利用“裂項(xiàng)求和方法”即可得出.

解答 解:(1)數(shù)列{an}滿足對(duì)任意m,n∈N*總有am+n=aman成立,且a1=2.
∴an+1=a1an=2an,
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比為2,∴an=2n
(2)bn=log2an=n.
∴Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$.
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.
∴數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項(xiàng)和Tn=2$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
=2$(1-\frac{1}{n+1})$
=$\frac{2n}{n+1}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和方法”、遞推公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.設(shè)不等式3-2x<0的解集為M,下列關(guān)系中正確的有②.
①0∈M,2∈M       
②0∉M,2∈M
③0∈M,2∉M   
④0∉M,2∉M.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.△ABC在內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c;向量$\overrightarrow{m}$=(cosA,a)與$\overrightarrow{n}$=(sinB,$\sqrt{3}$b)平行.
(1)求A;
(2)若$a=\sqrt{7},b=2$,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x中正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin(θ+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rsinθ\end{array}\right.(θ$為參數(shù),r>0)
(1)求直線l的普通方程以及圓心C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)r為何值時(shí),圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.關(guān)于下列命題:
①函數(shù)$y=cos({2x+\frac{π}{3}})$的一條對(duì)稱軸為直線:$x=-\frac{π}{6}$;
②函數(shù)$y=cos2({\frac{π}{3}-x})$是偶函數(shù);
③函數(shù)$y=4sin({2x-\frac{π}{3}})$的一個(gè)對(duì)稱中心是$({\frac{π}{6},0})$;
④函數(shù)$y=sin({x+\frac{π}{4}})$在閉區(qū)間$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上是增函數(shù)
寫出所有所有正確的命題的序號(hào):①③.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.二項(xiàng)式${(2{x^2}-\frac{1}{x})^5}$展開式中含x4的二項(xiàng)式系數(shù)為( 。
A.80B.10C.-10D.-80

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.如圖,在正三棱柱(側(cè)棱垂直于底面,且底面是正三角形)ABC-A1B1C1中,D是AC邊的中點(diǎn).
(1)求證:AB1∥平面DBC1;
(2)當(dāng)CA1⊥AB1時(shí),求證:CA1⊥平面DBC1

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10.已知{an}是等差數(shù)列,且a3+a5+a7+a9=18,則a5+a7=(  )
A.12B.11C.9D.10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,2cos(A+B)=1,且a,b 是方程x2-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根.
(1)求角C的度數(shù);      
(2)求AB的長;    
(3)求△ABC的面積.

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