【題目】某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品,產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量(千件)有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù):
根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖.
觀察散點(diǎn)圖,兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為,與的相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)(其中):
(1)用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程;
(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01),并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本;
(3)該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式(根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn),即產(chǎn)品全部售出).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù),若該產(chǎn)品單價(jià)定為100元,則簽訂9千件訂單的概率為0.8,簽訂10千件訂單的概率為0.2;若單價(jià)定為90元,則簽訂10千件訂單的概率為0.3,簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元,根據(jù)(2)的結(jié)果,企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇100元還是90元,請(qǐng)說明理由.
參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,,相關(guān)系數(shù).
【答案】(1);(2)當(dāng)產(chǎn)量為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的非原料成本為21元;(3)見解析
【解析】
(1)令,則可轉(zhuǎn)化為,分別求出的值,即可求解;
(2)直接利用相關(guān)關(guān)系公式求得與的相關(guān)系數(shù),可得,得到用反比例函數(shù)模型擬合效果更好,取,可得當(dāng)千件時(shí),每件產(chǎn)品的分原料成本;
(3)分別求出產(chǎn)品單價(jià)為100元與產(chǎn)品單價(jià)為90元企業(yè)的利潤(rùn),即可得到答案.
(1)令,則可轉(zhuǎn)化為,
因?yàn)?/span>,所以,
則,所以,
所以關(guān)于的回歸方程為;
(2)與的相關(guān)系數(shù)為:
,
因?yàn)?/span>,所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好,
當(dāng)時(shí),(元),
所以當(dāng)產(chǎn)量為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的非原料成本為21元;
(3)(i)若產(chǎn)品單價(jià)為100元,記企業(yè)利潤(rùn)為(千元),
訂單為9千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為元,企業(yè)的利潤(rùn)為611(千元),
訂單為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為31元,企業(yè)的利潤(rùn)為690(千元),
企業(yè)利潤(rùn)(千元)的分布列為
611 | 690 | |
0.8 | 0.2 |
所以(千元);
(ii)若產(chǎn)品單價(jià)為90元,記企業(yè)利潤(rùn)為(千元),
訂單為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為31元,企業(yè)的利潤(rùn)為590(千元),
訂單為11千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為元,企業(yè)的利潤(rùn)為659(千元),
企業(yè)利潤(rùn)(千元)的分布列為
590 | 659 | |
0.3 | 0.7 |
所以(千元),
故企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇90元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是正方形,點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.
(1)證明:平面.
(2)三棱錐的體積最大時(shí),求二面角的余弦值.
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【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”,其大意為:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,則該人第五天走的路程為( )
A. 6里B. 12里C. 24里D. 48里
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中,為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況,從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績(jī),被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間(滿分150分),將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組:第一組,,第二組,,第八組,,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.
(1)求第七組的頻率,并完成頻率分布直方圖;
(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值);
(3)若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)座位,在甲同學(xué)不坐2號(hào)座位,乙同學(xué)不坐5號(hào)座位的條件下,甲、乙兩位同學(xué)的座位號(hào)相加是偶數(shù)的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為,,設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為,面積為,且滿足,則該雙曲線的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形,,與交于點(diǎn),平面平面,,,.
(1)求證:平面;
(2)若為等邊三角形,點(diǎn)為的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店為了了解銷售單價(jià)(單位:元)在]內(nèi)的圖書銷售情況,從2018年上半年已經(jīng)銷售的圖書中隨機(jī)抽取100本,獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷售單價(jià)在內(nèi)的圖書數(shù)是銷售單價(jià)在內(nèi)的圖書數(shù)的2倍.
(1)求出與,再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書銷售單價(jià)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)用分層抽樣的方法從銷售單價(jià)在[8,20]內(nèi)的圖書中共抽取40本,求單價(jià)在6組樣本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量;
(3)從(2)中抽取且價(jià)格低于12元的書中任取2本,求這2本書價(jià)格都不低于10元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個(gè)正十字形剩下的部分,正十字形的頂點(diǎn)都在圓周上.已知正十字形的寬和長(zhǎng)都分別為x,y(單位:dm)且x<y,若剪去的正十字形部分面積為4dm2.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求其定義域;
(2)現(xiàn)為了節(jié)約紙張,需要所用圓形紙片面積最小.當(dāng)x取何值時(shí),所用到的圓形紙片面積最小,并求出其最小值.
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