已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，λ∈[0，+∞），則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�
分析：先根據(jù)數(shù)量積為零求證
BC
與λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)垂直，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，令
DP
=λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，可得P在BC的垂直平分線上，由外心的定義可得．
解答：解：∵
BC
•(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)=-|
BC
|+|
BC
|=0
∴
BC
與λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)垂直，
設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則
OB
+
OC
2
=
OD
，
令
DP
=λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，可得
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)=
OD
+
DP
=
OP

∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即P經(jīng)過△ABC的外心
故選D
點(diǎn)評：本題主要考查了空間向量的加減法，以及三角形的外心的知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）已知O是平面上的一定點(diǎn)，在△ABC中，動點(diǎn)P滿足條件
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
| sinB
+
AC
|
AC
| sinC
），（其中λ∈[0，+∞））
，則P的軌跡一定△ABC通過的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文）已知O是平面上的一定點(diǎn)，在△ABC中，動點(diǎn)P滿足條件
OP
=
OA
+λ（
AB
+
AC
），其中λ∈[0，+∞）），則P的軌跡一定△ABC通過的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年湖北黃州區(qū)一中高三11月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，，則動點(diǎn)P的軌跡一定通過的（  ）

A．重心         B．垂心          C．外心        D．內(nèi)心

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三年級第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理卷 題型：選擇題

已知O是平面上的一個定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)P滿足, ,則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（    ）

    A．垂心           B．重心           C．外心           D．內(nèi)心

 

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