Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，過原點(diǎn)分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1 ， l2 ， 已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明： ＜a＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx﹣2（x﹣1）的定義域?yàn)椋?，+∞），

f′（x）= ﹣2= ；

當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，

即函數(shù)f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減．

所以f（x）max=f（ ）=1﹣ln2，沒有最小值

（2）解：證明：設(shè)切線l2的方程為y=k2x，切點(diǎn)為（x2，y2），則y2= ，

k2=g′（x2）= = ，

所以x2=1，y2=e，則k2=e．

由題意知，切線l1的斜率為k1= = ，l1的方程為y= x；

設(shè)l1與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x1，y1），則k1=f′（x1）= ﹣a= = ，

所以y1= =1﹣ax1，a= ﹣ ．

又因?yàn)閥1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，

整理得lnx1﹣1+ ﹣ =0．

令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ =0，

則m′（x）= ﹣ = ，m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

若x1∈（0，1），因?yàn)閙（ ）=﹣2+e﹣ ＞0，m（1）=﹣ ＜0，所以x1∈（ ，1），

而a= ﹣ 在x1∈（ ，1）上單調(diào)遞減，所以 ＜a＜ ．

若x1∈（1，+∞），因?yàn)閙（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（e）=0，則x1=e，

所以a= ﹣ =0（舍去）．

綜上可知， ＜a＜

【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx﹣2（x﹣1）的定義域?yàn)椋?，+∞），再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求解函數(shù)的最值；（2）設(shè)切線l2的方程為y=k2x，從而由導(dǎo)數(shù)及斜率公式可求得切點(diǎn)為（1，e），k2=e；再設(shè)l1的方程為y= x；設(shè)l1與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x1 ， y1），從而可得y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ；結(jié)合y1=lnx1﹣a（x1﹣1）可得lnx1﹣1+ ﹣ =0，再令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ ，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定 ＜a＜ ，問題得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．