Question

(本小題13分)

已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作不與坐標軸垂直的直線，交橢圓于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)點是線段上的一個動點，且，

求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)點是點關(guān)于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、 三點共線？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，由題意知=1．

，

故橢圓方程為．  

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以. 設(shè)的方程為 ，

代入，得，

設(shè)，則，

，，

，

，

，

，

  ，

由，

當時,  有成立． 

（Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線．

依題意知，直線BC的方程為，

令y=0，則，    

∵的方程為，A、B在直線上，

∴

∴

∴在軸上存在定點，使得、、三點共線．  

解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以.

設(shè)的方程為 ，

代入，得，

設(shè)，則，     

，，

∵，∴，

∴，

∴，

，∴，

∴∵， ∴，

∴．

當時, , 有成立．    

(Ⅲ) 在軸上存在定點，使得、、三點共線．

設(shè)存在，使得、、三點共線， 則∥，

，，

，

即．

，．所以，存在，使得、、三點共線．