Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為e，過F₂的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，若△F₁AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e²=

 

．

Answer 1

分析：設|AF₁|=|AB|=m，計算出|AF₂|=（1-

2

2

）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的關系，從而求出e²的值．

解答：解：設|AF₁|=|AB|=m，
則|BF₁|=

2

m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=

2

m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+

2

m-2a=m，
∴4a=

2

m，
∴|AF₂|=（1-

2

2

）m，
∵△AF₁F₂為Rt三角形，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（

5

2

-

2

）m²，
∵4a=

2

m，
∴4c²=（

5

2

-

2

）×8a²，
∴e²=5-2

2

．
故答案為：5-2

2

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義，解題的關鍵是確定|AF₂|，從而利用勾股定理求解．