Question

6．如圖所示，MA為圓O的切線，A為切點，割線MC交圓O于B，C兩點，MA=6，MB=3，AB=$\sqrt{17}$，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D，E．
（Ⅰ）求證：$\frac{MA}{MC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（Ⅱ）求AD和AE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知條件得到△PAB∽△PCA，于是得到結論；
（Ⅱ）由切割線定理求出MC=12，BC=9，根據(jù)已知條件推出△ACE∽△ADB，列比例式即可得到結果．

解答 解：（Ⅰ）∵MA為圓O的切線，
∴由弦切角定理可得∠MAB=∠ACM，
∵∠M=∠M，
∴△ABM∽△CAM，
∴$\frac{MA}{MC}$=$\frac{AB}{CA}$
∵∠BAC的角平分線與BC交于點D，
∴由角平分線定理可得$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{CA}$，
∴$\frac{MA}{MC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（Ⅱ）連接AO，CE．
∵MA為圓O的切線，MBC是過點O的割線，
∴由切割線定理得MA²=MB•MC，
∵MA=6，MB=3，
∴6²=3MC
∴MC=12，
∵MB=3，∴BC=9，
∵∠CAB=90°，
∴AC²+AB²=BC²=81，
由（1）知$\frac{MA}{MC}$=$\frac{AB}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\frac{18}{5}$$\sqrt{5}$，AB=$\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∵同弧所對的圓周角相等，∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴AD•AE=AB•AC=$\frac{162}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質，切割線定理，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．