Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax-e^x（a∈R），g（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x₀）≤g（x₀）-e^x₀成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=a-e^x，x∈R．對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）由?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，即a≤$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤（ $\frac{lnx}{{x}^{2}}$）_max，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）∵f′（x）=a-e^x，x∈R．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0得x=lna．
由f′（x）＞0得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，lna）；
由f′（x）＜0得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（lna，+∞）．
（2）∵?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，
則ax≤$\frac{lnx}{x}$，即a≤$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤（ $\frac{lnx}{{x}^{2}}$）_max，
由h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，令h′（x）=0，則x=$\sqrt{e}$
當(dāng)x在區(qū)間（0，+∞） 內(nèi)變化時(shí)，h′（x）、h（x）變化情況如下表：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增	極大值$\frac{1}{2e}$	單調(diào)遞減

由上表可知，當(dāng)x=$\sqrt{e}$時(shí)，函數(shù)h（x）有極大值，即最大值為$\frac{1}{2e}$．
∴a≤$\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．