Question

8．已知圓C與兩平行直線x-y=0及x-y-4=0都相切，且圓心C在直線x+y=0上，
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx-2與圓C恒有兩個不同的交點A和B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平行線之間的距離求出圓的直徑，設(shè)出圓心坐標，利用圓心到直線的距離，求出圓心坐標，可得圓的方程．
（2）聯(lián)立直線和圓方程，利用韋達定理，結(jié)合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$（其中O為原點），即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知⊙C的直徑為兩平行線 x-y=0及x-y-4=0之間的距離d=2R=$\frac{|0-（-4）|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
∴解得R=$\sqrt{2}$，
由圓心C（a，-a）到 x-y=0的距離$\frac{|2a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$得a=±1，檢驗得a=1
∴⊙C的方程為（x-1）²+（y+1）²=2；
（2）直線l：y=kx-2與圓C，聯(lián)立可得（1+k²）x²-（2+2k）x=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2+2k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=0
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＞2．
于是k²+2k-1＜0，即-1-$\sqrt{2}$＜k＜-1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓方程的求法，考查了直線與圓的關(guān)系，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．