Question

20．關(guān)于函數(shù)f（x）=xln|x|的五個命題：
①f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
②f（x）只有極小值點，沒有極大值點；
③f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（0，1）；
④函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x-y+1=0；
⑤函數(shù)g（x）=f（x）-m最多有3個零點．
其中，是真命題的有①⑤（請把真命題的序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 由x＜0的函數(shù)解析式，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號，即可判斷①；
求得x＞0，x＜0的解析式，可得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值，即可判斷②；
討論x＞0，x＜0，解不等式即可判斷③；
求得x=1處的切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線方程，即可判斷④；
令g（x）=0，可得m=f（x），由②求得極值，可得當(dāng)-$\frac{1}{e}$＜m＜$\frac{1}{e}$時，有3個交點，即可判斷⑤．

解答 解：①x＜0時，f（x）=xln（-x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ln（-x）+1，當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＞0，
可得f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是單調(diào)遞增函數(shù)，故①對；
②當(dāng)x＞0時，可得f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減；
在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增．可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值-$\frac{1}{e}$；
x＜0時，f（x）=xln（-x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ln（-x）+1，可得f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{e}$）上遞增；
在（-$\frac{1}{e}$，0）遞減，f（x）在x=-$\frac{1}{e}$處取得極大值$\frac{1}{e}$．故②錯；
③f（x）＞0等價為x＞0，xlnx＞0或x＜0，xln（-x）＞0，即為x＞1或-1＜x＜0．故③錯；
④函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為1，切點為（1，0），即有切線的方程為y=x-1，故④錯；
⑤令g（x）=f（x）-m=0，即有m=f（x），由②可得f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{e}$），（$\frac{1}{e}$，+∞）上遞增，
在區(qū)間（-$\frac{1}{e}$，0），（0，$\frac{1}{e}$）上遞減，且極大值為$\frac{1}{e}$，極小值為-$\frac{1}{e}$，當(dāng)-$\frac{1}{e}$＜m＜$\frac{1}{e}$時，有3個交點，
即零點個數(shù)最多3個．故⑤對．
故答案為：①⑤．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，同時考查函數(shù)的零點的個數(shù)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．