Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a²-a）x-2
（1）若當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在[2，4]上的最大值g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=x²-（a²-a）x-2，我們可以分析出函數(shù)的圖象形狀，根據(jù)當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）為單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間[1，3]應(yīng)該完全在函數(shù)圖象對稱軸的同一側(cè)，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到滿足條件的a的取值范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別討論函數(shù)的對稱軸與區(qū)間[2，4]的關(guān)系，即可求出函數(shù)f（x）在[2，4]上的最大值g（a）的表達(dá)式；
（3）根據(jù)（2）中g(shù)（a）的解析式，根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，結(jié)合二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，即可得到答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-（a²-a）x-2的圖象是開口方向朝上，以x=

a2-a

2

為對稱軸的拋物線
若當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）為單調(diào)函數(shù)，
則

a2-a

2

≤1，或

a2-a

2

≥3
解得a≤-2，或-1≤a≤2，或a≥3
故a的取值范圍為（-∞，-2]∪[-1，2]∪[3，+∞）
（2）當(dāng)

a2-a

2

≥3，即a≤-2，或a≥3時，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（2）=-2（a²-a）+2；
當(dāng)

a2-a

2

＜3，即-2＜a＜3時，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（4）=-4（a²-a）+14；
故g（a）=

-2a2+2a+2，a≤-2，或a≥3 -4a2+4a+14，-2＜a＜3

（3）由（2）得當(dāng)a≤-2，或a≥3時時，g（a）的最大值為-10
當(dāng)-2＜a＜3時g（a）的最大值為15
故g（a）的最大值為15

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中在解答含有參數(shù)的二次函數(shù)問題時，判斷對稱軸與給定區(qū)間的范圍，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，是解答的關(guān)鍵．