Question

9．在極坐標(biāo)系下，已知曲線C₁：ρ=cosθ+sinθ和曲線C₂：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求曲線C₁和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)θ∈（0，π）時(shí)，求曲線C₁和曲線C₂公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=ρcos θ+ρsin θ，由此能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；曲線C₂極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρsin θ-ρcos θ=1，由此能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立曲線C₁和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，能求出曲線C₁和曲線C₂公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)，由此能求出曲線C₁和曲線C₂公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵曲線C₁：ρ=cos θ+sin θ，即ρ²=ρcos θ+ρsin θ，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=x+y，即x²+y²-x-y=0，
∵曲線C₂：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即ρsin θ-ρcos θ=1，
則曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：y-x=1，即x-y+1=0．…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁和曲線C₂公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，1），
∴曲線C₁和曲線C₂公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．