Question

試做一個(gè)上端開(kāi)口的圓柱形容器，它的凈容積為V，壁厚為a（包括側(cè)壁和底部），其中V和a均為常數(shù)．問(wèn)容器內(nèi)壁半徑為多少時(shí)，所用的材料最少？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)容器內(nèi)壁的半徑為x（x＞0），容器的高為h，構(gòu)造函數(shù)f（x）=π（x+a）²a+π（x+a）²h-V．利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值，從而求出容器內(nèi)壁半徑為

3	V π

時(shí)，所用的材料最少．

解答： 解：設(shè)容器內(nèi)壁的半徑為x（x＞0），容器的高為h，
則h=

V

πx2

．
∴所用材料f（x）=底部所用材料=側(cè)壁所用材料
=π（x+a）²a+π（x+a）²h-V．
∴f′(x)=2πa(x+a)-2aV(

1

x2

+

1

a2

)
=

2aπ(x+a)

x3

(x3-

3	V π

)(x2+

3	V π

x+(

3	V π

)2)
令f′（x）=0得，x=

3	V π

．
∴函數(shù)在x=

3	V π

處取得最小值．
∴容器內(nèi)壁半徑為

3	V π

時(shí)，所用的材料最少．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，構(gòu)造函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題等知識(shí)，屬于中檔題．