Question

已知f（x）=

lnx

x

在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減（e為自然常數(shù)），若不等式x³-2ex²+mx-lnx≥0在（0，+∞）恒成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把不等式變形后分離參數(shù)m，然后利用函數(shù)f（x）=

lnx

x

的單調(diào)性及二次函數(shù)的最值求得函數(shù)-x2+2ex+

lnx

x

的最大值，則答案可求．

解答： 解：由x³-2ex²+mx-lnx≥0在（0，+∞）恒成立，
得mx≥-x³+2ex²+lnx在（0，+∞）恒成立，
即m≥-x2+2ex+

lnx

x

在（0，+∞）恒成立，
令函數(shù)g（x）=-x²+2ex，t（x）=

lnx

x

，
當(dāng)x=e時函數(shù)g（x）有最大值，同時t（x）取得最大值，
則當(dāng)x=e時，函數(shù)函數(shù)-x2+2ex+

lnx

x

有最大值為-e2+2e2+

lne

e

=e2+

1

e

．
∴m≥e．
∴m的取值范圍是[e，+∞）．
故答案為：[e，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．