Question

若拋物線y=2x²上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱且x₁x₂=-

1

2

，求m的值．

Answer 1

分析：先假設(shè)出直線AB的方程為y=-x+b，然后代入到拋物線方程中消去y得到兩根之和、兩根之積，再由x₁x₂=-

1

2

可求出b的值從而確定直線AB的方程，再設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M，根據(jù)A，B，M坐標(biāo)之間的關(guān)系可得M的坐標(biāo)，然后代入到直線y=x+m求出m的值．

解答：解：設(shè)直線AB的方程為y=-x+b，代入y=2x²得2x²+x-b=0，
∴x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=

-b

2

=-

1

2

．
∴b=1，即AB的方程為y=-x+1．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則
x₀=

x1+x2

2

=-

1

4

，代入y₀=-x₀+1，
得y₀=

5

4

．又M（-

1

4

，

5

4

）在y=x+m上，
∴

5

4

=-

1

4

+m．∴m=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和拋物線的綜合問題．屬基礎(chǔ)題．