Question

4．直線y=3x+1是曲線y=x³-a的一條切線，則實數a的值為-3或1．

Answer 1

分析 先對y=x³-a進行求導，設出切點，然后令導函數等于3求出切點坐標，代入到曲線方程可得答案．

解答 解：設切點為P（x₀，y₀），
對y=x³-a求導數是y'=3x²，
由題意可得3x₀²=3．∴x₀=±1．
（1）當x=1時，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x³-a上，
∴4=1³-a．∴a=-3．
（2）當x=-1時，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×（-1）+1=-2，即P（-1，-2）．
又P（-1，-2）也在y=x³-a上，
∴-2=（-1）³-a．∴a=1．
綜上可知，實數a的值為-3或1．
故答案為：-3或1．

點評 本題考查導數的運用，主要考查導數的幾何意義，即函數在某點的導數值等于以該點為切點的切線的斜率，注意設出切點，考查運算能力，屬于中檔題．