Question

已知圓C經(jīng)過A（1，6），又經(jīng)過A（1，6）與B（5，-2）的中點，且圓心在直線4x-2y=0上．
（1）求圓C的圓心和半徑，并寫出圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過點P（-1，3）且與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心在4x-2y=0上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，2a），根據(jù)圓C過A（1，6），及過A（1，6）與B（5，-2）的中點（3，2），利用兩點間的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標(biāo)與半徑r，寫出圓C的方程即可；
（2）設(shè)直線l斜率為k，根據(jù)直線l過P點，寫出直線l方程，根據(jù)直線l與圓相切，得到圓心到直線l的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l方程．

解答：解：（1）由圓心在4x-2y=0，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，2a），
∵圓C過A（1，6），及過A（1，6）與B（5，-2）的中點（3，2），
∴

(a-3)2+(2a-2)2

=

(a-1)2+(2a-6)2

，
兩邊平方化簡得：-14a+13=-26a+37，即12a=24，
解得：a=2，
∴圓C的圓心為（2，4），半徑r=

(2-3)2+(4-2)2

=

5

，
則圓C的方程為（x-2）²+（y-4）²=5；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，
∵直線l經(jīng)過點P（-1，3），
∴直線l可寫為y-3=k（x+1），即kx-y+k+3=0，
∵直線l與圓C相切，∴圓心（2，4）到kx-y+k+3=0的距離等于r=

5

，
∴

|2k-4+k+3|

k2+1

=

5

，
兩邊平方化簡得2k²-3k-2=0，分解因式得（2k+1）（k-2）=0，
解得：k=-

1

2

或k=2，
則所求直線l方程為x+2y-5=0或2x-y+5=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點間的距離公式，以及點到直線的距離公式，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．