Question

（04年北京卷）(12分)

給定有限正數(shù)滿足條件T: 每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L=1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組,每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是:

首先,從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組,使得150與這組數(shù)之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的,r₁稱為第一組余差;

然后,在去掉已選入第一組的數(shù)后,對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組,這時(shí)的余差r₂;如此繼續(xù)構(gòu)成第三組(余差為r₃)、第四組（余差為r₄）、…，直至第N組（余差為r_N）把這些數(shù)全部分完為止。

(Ⅰ) 判斷r₁,r₂,…，r_N的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)；

(Ⅱ) 當(dāng)構(gòu)成n(n>N)組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與r_n的大小關(guān)系，并證明

  ；

（Ⅲ）對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：N≤11。

Answer 1

解析: (Ⅰ) r₁≤r₂≤r_N. 除第N組外的每組至少含有個(gè)數(shù).

(Ⅱ) 當(dāng)?shù)趎組形成后,因?yàn)閚<N,所以還有數(shù)沒(méi)分完,這時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于余差r_n. 余下數(shù)之和也大于第n組的余差r_n,即 ,

由此可得

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090413/20090413111609004.gif' width=191>所以

(Ⅲ)用反證法證明結(jié)論. 假設(shè)N>11,即第11組形成后,還有數(shù)沒(méi)分完,由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知,余下的每個(gè)數(shù)都大于第11組的余差r₁₁,且,

故  余下的每個(gè)數(shù)> r₁₁≥r₁₀>

因?yàn)榈?1組數(shù)中至少含有3個(gè)數(shù),所以第11組數(shù)之和大于37.5×3=112.5.

此時(shí)第11組的余差r₁₁=150―第11組數(shù)之和<150―112.5=37.5,

這與(*)式中r₁₁>37.5矛盾,所以N≤11.(12分)