如圖,已知點(diǎn)P為橢圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過橢圓的右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)B分別作與y軸和x軸的平行線交于C,過P引BC、AC的平行線交AC于N,交BC于M,交AB于D、E,矩形PMCN的面積是S1,三角形PDE的面積是S2,則S1:S2=   
【答案】分析:根據(jù)橢圓方程設(shè)P(5cosθ,3sinθ),得到|PN|、|PM|關(guān)于θ的式子,從而得到矩形PMCN的面積S1關(guān)于θ的式子.根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形相似的知識,分別算出D、E坐標(biāo)關(guān)于θ的式子,從而得到|DP|、|EP|關(guān)于θ的式子,算出△PDE的面積S2關(guān)于θ的式子,將S1的式子與S2式子加以對比,即可得到S1:S2的值.
解答:解:根據(jù)橢圓方程,設(shè)P(5cosθ,3sinθ),
∵P是橢圓第一象限內(nèi)的點(diǎn),∴
由此可得:|PN|=5-5cosθ,|PM|=3-3sinθ,
∴矩形PMCN的面積S1=|PM|•|PN|=15(1-cosθ)(1-sinθ).
設(shè)D(m,n),
∵DP∥x軸,∴n=3sinθ,可得m=5(1-sinθ),
因此,|PD|=5cosθ-5(1-sinθ)=5(sinθ+cosθ-1).
同理,求得|PE|=3(sinθ+cosθ-1)
∴△PDE的面積S2=|PD|•|PE|=×5(sinθ+cosθ-1)×3(sinθ+cosθ-1)=(sinθ+cosθ-1)2
∵(sinθ+cosθ-1)2=sin2θ+cos2θ+1+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ=2(1-sinθ-cosθ+sinθcosθ)
∴S2=(sinθ+cosθ-1)2=15(1-sinθ-cosθ+sinθcosθ)=15(1-cosθ)(1-sinθ)
由此可得,S1=S2,即得S1:S2=1
故答案為:1
點(diǎn)評:本題給出由橢圓生成的矩形PMCN的面積S1和△PDE的面積S2,求S1:S2的值.著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知點(diǎn)P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過橢圓的右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)B分別作與y軸和x軸的平行線交于C,過P引BC、AC的平行線交AC于N,交BC于M,交AB于D、E,矩形PMCN的面積是S1,三角形PDE的面積是S2,則S1:S2=
1
1

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如圖,已知點(diǎn)B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點(diǎn),過B作斜率為1的直線交橢圓于點(diǎn)M,點(diǎn)P在y軸上,且PM∥x軸,
BP
BM
=9,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,t),則t的取值范圍是(  )

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(2007•浦東新區(qū)二模)如圖,已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為F1、F2的橢圓上運(yùn)動(dòng),則與△PF1F2的邊PF2相切,且與邊F1F2,F(xiàn)1P的延長線相切的圓的圓心M一定在( 。

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如圖,已知點(diǎn)P為橢圓數(shù)學(xué)公式在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過橢圓的右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)B分別作與y軸和x軸的平行線交于C,過P引BC、AC的平行線交AC于N,交BC于M,交AB于D、E,矩形PMCN的面積是S1,三角形PDE的面積是S2,則S1:S2=________.

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