Question

設(shè)n是正整數(shù)，由數(shù)列1，2，3…n分別求相鄰兩項的和，得到一個有n-1項的新數(shù)列：1+2，2+3，3+4，…（n-1）+n即3，5，7…，2n-1，對這個新數(shù)列繼續(xù)上述操作，這樣得到為一系列數(shù)列，最后一個數(shù)列只有一項．
（1）記原數(shù)列為第一個數(shù)列，則第三個數(shù)列的第j（j∈N^*且1≤j≤n-2）項是

 

；
（2）最后一個數(shù)列的項是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的概念及簡單表示法,歸納推理

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：首先根據(jù)題意寫出第三個數(shù)列；然后由題意可知最后一個數(shù)列的項an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），即

an

2n

，即數(shù)列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

1

4

的等差數(shù)列，進(jìn)而求出最后一個數(shù)列的項即可．

解答： 解：由題意可得：第一個數(shù)列是1，2，3…n，
第二個數(shù)列是：3，5，7，…2n-1，
第三個數(shù)列是：8，12，16，20…4n+4，
∴第三個數(shù)列的第j（j∈N^*且1≤j≤n-2）項是4j+4；
（2）由題意可知最后一個數(shù)列的項an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），
即由題意可知最后一個數(shù)列的項an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），
即

an

2n

，
所以數(shù)列{

an

2n

，}是首項為

1

2

，公差為

1

4

的等差數(shù)列；
所以a_n=（n+1）•2^n-2（n∈N^*），
即最后一個數(shù)列的項是 （n+1）•2^n-2（n∈N^*）．
故答案為：4j+4；（n+1）•2^n-2（n∈N^*）．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用，考查了構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造并判斷出數(shù)列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

1

4

的等差數(shù)列．