Question

13．設(shè)a，b，c是三個(gè)正實(shí)數(shù)，且a（a+b+c）=bc，則$\frac{a}{b+c}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知條件可得a為方程x²+（b+c）x-bc=0的正根，求出a，再代入$\frac{a}{b+c}$變形化簡(jiǎn)利用基本不等式即可求出

解答 解：a（a+b+c）=bc，
∴a²+（b+c）a-bc=0，
∴a為方程x²+（b+c）x-bc=0的正根，
∴a=$\frac{-（b+c）+\sqrt{（b+c）^{2}+4bc}}{2}$，
∴$\frac{a}{b+c}$=$\frac{-（b+c）+\sqrt{（b+c）^{2}+4bc}}{2（b+c）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{（b+c）^{2}+4bc}}{2（b+c）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{4bc}{（b+c）^{2}}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{4}{\frac{c}+\frac{c}+2}}$≤-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{4}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．