【題目】(本小題滿分14分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在兩條直線,都是曲線的切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ);.(Ⅲ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ),對(duì)a進(jìn)行分類討論:當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí),令,得.的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;(Ⅱ)因?yàn)?/span> 存在兩條直線,都是曲線的切線,
所以 至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根,令得,記其兩個(gè)實(shí)根分別為.
則 解得.再說(shuō)明當(dāng)時(shí),曲線在點(diǎn)處的切線分別為,是兩條不同的直線即可;(Ⅲ)只需分類討論.
試題解析:(Ⅰ). 1分
當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. 2分
當(dāng)時(shí),令,得.
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下:
↘ | 極小值 | ↗ |
所以 的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是. 4分
(Ⅱ)因?yàn)?/span> 存在兩條直線,都是曲線的切線,
所以 至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根. 5分
令得,記其兩個(gè)實(shí)根分別為.
則 解得. 7分
當(dāng)時(shí),曲線在點(diǎn)處的切線分別為,.
令.
由得(不妨設(shè)),且當(dāng)時(shí),
所以 .
所以 ,是曲線的兩條不同的切線.
所以 實(shí)數(shù)的取值范圍為. 9分
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù).
因?yàn)?/span> ,
而,不符合題意. 11分
當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知:的最小值是.
(ⅰ)若,即時(shí),,
所以,符合題意.
(ⅱ)若,即時(shí),.
所以,符合題意.
(ⅲ)若,即時(shí),有.
因?yàn)?/span> ,函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù),
所以 當(dāng)時(shí),.
又因?yàn)?/span> 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
所以 .
所以 符合題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為. 14分
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(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
…
觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系,可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形,其構(gòu)造方法為:第0行為1,以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)(不足3數(shù)的,缺少的數(shù)計(jì)為0)之和,第k行共有2k+1個(gè)數(shù).若在(1+ax)(x2+x+1)5的展開(kāi)式中,x8項(xiàng)的系數(shù)為67,則實(shí)數(shù)a值為 .
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)已知點(diǎn),曲線在點(diǎn) 處的切線與直線交于點(diǎn),求(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí)的值,并求出面積的最小值.
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