Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，曲線在點(diǎn) 處的切線與直線交于點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小時(shí)的值，并求出面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增（2）時(shí)，的面積有最小值1.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，與聯(lián)立得點(diǎn)，再根據(jù)三角形面積公式得 ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，即得最小值.

試題解析：解：（Ⅰ）依題意，.

令，故，令，解得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，故，即，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）依題意，切線的斜率為，

由此得切線的方程為，

令，得 ，

所以 ，.

設(shè)，.

則 ，

令，得或.

，的變化情況如下表：

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即時(shí)，的面積有最小值1.