Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P（-1，1）．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，2]時，不等式f（x）≥mx²-x-2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得

f′(-1)=4 f(-1)=1

，解此方程組可得a，b；
（Ⅱ）分離出參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可求最值；

解答：解：（Ⅰ）由題意得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

f′(-1)=4 f(-1)=1

，即

3-2a+b=4 -1+a-b+2=1

，
解得：a=b=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-x²-x+2，
∵f（x）≥mx²-x-2，x∈[1，2]，
∴m≤

x3-x2+4

x2

，即m≤x+

4

x2

-1，
令g（x）=x+

4

x2

-1，x∈[1，2]，
∴g′（x）=1-

8

x3

，
當x∈[1，2]時，g′（x）≤0，
∴g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（2）=2，
∴m≤2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化為思想．