Question

15．在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l：ρcosθ-ρsinθ-1=0和曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2sinφ}\\{y=-1+2cosφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）
（1）將l與C的方程化為普通方程；
（2）判定直線l與曲線 C是否相交，若相交求出l被C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標與直角坐標的對應(yīng)關(guān)系得出直線l的直角坐標方程，用x，y表示出cosφ，sinφ利用cos²φ+sin²φ=1消參數(shù)得到曲線C的普通方程；
（2）求出圓心到直線l的距離，利用垂徑定理求出弦長．

解答 解：（1）∵ρcosθ-ρsinθ-1=0，∴直線l的直角坐標方程為x-y-1=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2sinφ}\\{y=-1+2cosφ}\end{array}\right.$，∴sinφ=$\frac{x-1}{2}$，cosφ=$\frac{y+1}{2}$，
∴曲線C的普通方程為（$\frac{x-1}{2}$）²+（$\frac{y+1}{2}$）²=1，即（x-1）²+（y+1）²=4．
（2）由（1）知曲線C表示圓心為C（1，-1）半徑為2的圓，
圓心C到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜2，故直線l與曲線C相交，
直線l被曲線C截得的弦長為2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．