解答題

已知f(x)是定義在實數(shù)集R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)＝f(x)―f(a―x)．

(1)

求證：F(x)在R上是增函數(shù)；

(2)

求F的值，并證明y＝F(x)的圖象關(guān)于點中心對稱；

(3)

若對任意x、y∈R，滿足F(x＋y)＋F(x－y)＝2F(x)F(y)，求證對任意x∈R，總有F(x＋a)＝－F(x)

答案：
解析：

(1)

證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2

則F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(a－x1)]－[f(x2)－f(a－x2)]

＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－f(a－x1)]…………2分

∵f(x)在R上是增函數(shù)

∴f(x1)－f(x2)＜0

由(x1)＜f(x2)知：a―x2＜a―x1

∴f(a－x2)＜f(a－x1)

∴F(x1)－F(x2)＜0即F(x1)＜F(x2)

∴F(x)在R上是增函數(shù)…………5分

(2)

解：由已知得：F＝f(a)―f＝0…………6分

設(shè)P(x，y)為F(x)的圖象上任意點

則P(x，y)關(guān)于點成中心對稱點P′為(a―x，―y)…………7分

∵F(a－x)＝f(a―x)―f[a―(a―x)]＝f(a―x)―f(x)

＝―[f(x)―f(a―x)]＝－F(x)…………9分

∴F(x)的圖象關(guān)于點成中心對稱…………10分

(3)

證明：用，分別代入F(x＋y)＋F(x―y)＝2F(x)F(y)

得：……12分

由⑵知f＝0

∴F(x＋a)＋F(x)＝0

∴F(x＋a)＝－F(x)…………14分


練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并給以證明；

(Ⅱ)(理)若f(1)＝1且f(x)≤m2－2bm＋1對所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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解答題

已知f(x)＝，

(1)

設(shè)，求t的取值范圍；

(2)

若a＞0時，f(x)＜0恒成立，試求a的取值范圍．

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