Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）記函數(shù)$F（x）={x^2}-x•f（x）（{x∈[{\frac{1}{2}，2}]}）$，求函數(shù)F（x）的最大值；
（Ⅱ）記函數(shù)$H（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2e}，x≥s\\ f（x），0＜x＜s\end{array}\right.$若對任意實數(shù)k，總存在實數(shù)x₀，使得H（x₀）=k成立，求實數(shù)s的取值集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)$F（x）={x^2}-x•f（x）（{x∈[{\frac{1}{2}，2}]}）$，的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點以及端點的函數(shù)值，然后求函數(shù)F（x）的最大值；
（Ⅱ）求出函數(shù)H（x）的值域為R．求出$y=\frac{x}{2e}$在[s，+∞）單調(diào)遞增，其值域為$[\frac{s}{2e}，+∞）$．然后求解函數(shù)$y=f（x）=\frac{lnx}{x}$的值域，通過（1）若s＞e，求解值域，（2）若0＜s≤e，函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}$的值域，判斷是否滿足題意，推出實數(shù)s的取值集合．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}$．
函數(shù)$F（x）={x^2}-x•f（x）（{x∈[{\frac{1}{2}，2}]}）$，F(xiàn)（x）=x²-lnx，x$∈[\frac{1}{2}，2]$
$F'（x）=2x-\frac{1}{x}$，令F′（x）=0，得$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴$F（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}+ln2$，F(xiàn)（2）=4-ln2，$F（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{1+ln2}{2}$且$F（2）＞F（\frac{1}{2}），F(xiàn)（2）＞F（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
∴x=2時，函數(shù)F（x）取得最大值，最大值為4-ln2．…（4分）
（Ⅱ）∵對任意實數(shù)k，總存在實數(shù)x₀，使得H（x₀）=k成立，∴函數(shù)H（x）的值域為R．
函數(shù)$y=\frac{x}{2e}$在[s，+∞）單調(diào)遞增，其值域為$[\frac{s}{2e}，+∞）$．
函數(shù)$y=f（x）=\frac{lnx}{x}$，$y'=\frac{1-lnx}{x^2}$．當x=e時，y'=0．
當x＞e時，y'＜0，函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}$在[e，+∞）單調(diào)遞減，
當0＜x＜e時，y'＞0，函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}$在（0，e）單調(diào)遞增．…（8分）
（1）若s＞e，函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}$在（0，e）單調(diào)遞增，在（e，s）單調(diào)遞減，其值域為$（-∞，\frac{1}{e}]$，
又$\frac{s}{2e}＞\frac{1}{e}$，不符合題意；
（2）若0＜s≤e，函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}$在（0，s）單調(diào)遞增，其值域為$（-∞，\frac{lns}{s}]$，
由題意得$\frac{s}{2e}≤\frac{lns}{s}$，即s²-2elns≤0；
令u（s）=s²-2elns，$u'（s）=2s-\frac{2e}{s}=\frac{{2（{s^2}-e）}}{s}$．
當$s＞\sqrt{e}$時，u'（s）＞0，u（s）在$（\sqrt{e}，e）$單調(diào)遞增；
當$0＜s＜\sqrt{e}$，u'（s）＜0，u（s）在$（0，\sqrt{e}）$單調(diào)遞減．
∴$s=\sqrt{e}$時，u（s）有最小值$u（\sqrt{e}）=0$，從而u（s）≥0恒成立（當且僅當$s=\sqrt{e}$時，u（s）=0）．
由（1）（2）得，u（s）=0，所以$s=\sqrt{e}$．
綜上所述，實數(shù)s的取值集合為$\{\sqrt{e}\}$．…（13分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力．