Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，點D是BC的中點，BC=BB₁．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）試在棱CC₁上找一點M，使得MB⊥AB₁，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結A₁B，交AB₁于點O，連結OD，由O為A₁B中點，又D為BC中點，可得A₁C∥OD，即可證明A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）當M為棱CC₁中點時，易證△B₁BD≌△BCM，可證∠BB₁D=∠CBM，又∠BB₁D+∠BDB₁=$\frac{π}{2}$，可得BM⊥B₁D，易證明AD⊥BC，由平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C，AD?平面ABC，可證AD⊥平面BB₁C₁C，可證AD⊥BM，即可證明BM⊥平面AB₁D，從而可證MB⊥AB₁．

解答
（本題滿分為12分）
證明：（Ⅰ）連結A₁B，交AB₁于點O，連結OD，…1分
在ABB₁A₁中，O為A₁B中點．
又因為D為BC中點，
所以A₁C∥OD，…2分
因為A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D，…4分
解：（Ⅱ）當M為棱CC₁中點時，MB⊥AB₁，理由如下：…5分
因為在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
所以四邊形BCC₁B₁為正方形．
因為M為棱CC₁中點，D是BC的中點，易證△B₁BD≌△BCM，…6分
所以∠BB₁D=∠CBM，
又因為∠BB₁D+∠BDB₁=$\frac{π}{2}$，
所以∠CBM+∠BDB₁=$\frac{π}{2}$，
故BM⊥B₁D，…7分
因為△ABC是正三角形，D是BC的中點，
所以AD⊥BC．
因為平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BB₁C₁C，…9分
因為BM?平面BB₁C₁C，
所以AD⊥BM．
因為AD∩B₁D=D，AD，B₁D?平面AB₁D，
所以BM⊥平面AB₁D，…11分
因為AB₁?平面AB₁D，
所以MB⊥AB₁，…12分．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定與性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．