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【題目】如圖，四邊形與都是邊長為的正方形，點是的中點， 平面.

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求平面與平面所成銳二面角的正切值.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：證明線面平行，利用線面平行的判定定理.本題借助三角形中位線定理可以得到線線平行，進而證明線面平行；證明面面垂直，利用面面垂直的判定定理，證明一個平面經過另一個平面的一條垂線，因此首先尋求線面垂直，只需證明直線與平面內的兩條相交直線垂直，進而說明線面垂直，進而達到面面垂直；求二面角可利用法向量計算.

試題解析：

（1）設交于，連接為正方形，所以為中點，

又為的中點， 為的中位線， ，

又平面平面，

平面.

（2）為正方形，

平面平面

又平面.

平面

平面平面.

（3）由（2）已證平面平面

，平面平面

銳角為平面與平面所成銳二面角的平面交

平面，

在邊長為的正方形中，而

為所求.

法二：依條件有，以為坐標原點，分別以為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，則有

平面 平面的一個法向量為

，設平面的一個法向量為

則，可取

設平面與平面所成銳二面角大小為，

則，

為所求.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知下圖中，四邊形 ABCD是等腰梯形， ， ， 于M、交EF于點N， ， ，現將梯形ABCD沿EF折起，記折起后C、D為、且使，如圖示．

(Ⅰ)證明： 平面ABFE；,

(Ⅱ)若圖6中， ，求點M到平面的距離．

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（1）證明：

（2）在線段上是否存在點，使得∥平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．

（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值

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【題目】若不等式（1－a）x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

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（1）求f（x）的表達式；
（2）設函數g（x）=f（x）﹣2×3x ， 求g（x+1）＞g（x）時x的取值范圍．

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【題目】已知橢圓 的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.、是橢圓的左、右頂點，直線過點且與軸垂直.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上異于、的任意一點，作軸于點，延長到點使得，連接并延長交直線于點，為線段的中點，判斷直線與以為直徑的圓的位置關系，并證明你的結論.

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【題目】已知橢圓 的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.、是橢圓的左、右頂點，直線過點且與軸垂直.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上異于、的任意一點，作軸于點，延長到點使得，連接并延長交直線于點，為線段的中點，判斷直線與以為直徑的圓的位置關系，并證明你的結論.

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【題目】已知直線l與圓C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1）．

（1）若圓C的半徑為，求實數a的值；

（2）若弦AB的長為6，求實數a的值；

（3）當a=1時，圓O：x2+y2=2與圓C交于M，N兩點，求弦MN的長．

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【題目】已知f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數，且在（﹣∞，0]上是增函數，設a=f（log47），b=f（log 3），c=f（21.6），則a，b，c的大小關系是（ ）
A.c＜a＜b
B.c＜b＜a
C.b＜c＜a
D.a＜b＜c

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