Question

15．一個袋中裝有7個大小相同的球，其中紅球有4個，編號分別為1，2，3，4；藍球3個，編號為2，4，6，現(xiàn)從袋中任取3個球（假設(shè)取到任一球的可能性相同）．
（I）求取出的3個球中，含有編號為2的球的概率；
（Ⅱ）記ξ為取到的球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）從7個球中取出3個球，基本事件總數(shù)n=C₇³=35，然后求出取出的3個球中，含有編號為2的球的結(jié)果數(shù)，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判斷隨機變量ξ所有可能取值為0，1，2，3，根據(jù)題意求出隨機變量的各個取值的概率，即可求解分布列及期望值．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)“取出的3個球中，含有編號為2的球”為事件A，則
從盒子中取出3個球，基本事件總數(shù)n=C₇³=35，
其中含有2號球的基本事件個數(shù)m=C₂¹C₅²+C₂²C₅¹=25，
∴取出的3個球中，含有編號為2的球的概率$\frac{25}{35}$=$\frac{5}{7}$．…（5分）
（Ⅱ）ξ所有可能取值為0，1，2，3．…（6分）
P（ξ=0）=$\frac{1}{35}$，P（ξ=1）=$\frac{4{C}_{3}^{2}}{35}$=$\frac{12}{35}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{35}$=$\frac{18}{35}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{35}$=$\frac{4}{35}$，…（10分）
所以隨機變量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×$\frac{12}{35}$+2×$\frac{18}{35}$+3×$\frac{4}{35}$=$\frac{12}{7}$．…（14分）

點評 本題主要考查了古典概型及計算公式，互斥事件、離散型隨機變量的分布列及期望值的求解，考查了運用概率知識解決實際問題的能力．