Question

6．已知點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，AB=3，BC=4，AC=5，若四面體ABCD體積的最大值為10，則這個(gè)球的表面積為（　　）

• A． $\frac{25π}{4}$
• B． $\frac{125π}{4}$
• C． $\frac{225π}{16}$
• D． $\frac{625π}{16}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為6．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為$\frac{1}{3}$×S_△ABC×DQ=10，
即$\frac{1}{3}$×6×DQ=10，∴DQ=5，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=2.5²+（5-R）²，∴R=$\frac{25}{8}$，
則這個(gè)球的表面積為：S=4π（$\frac{25}{8}$）²=$\frac{625π}{16}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．