如圖,在三棱錐中,平面,.

(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)設(shè)分別為的中點(diǎn),點(diǎn)為△內(nèi)一點(diǎn),且滿足,
求證:∥面
(Ⅲ)若,,求二面角的余弦值.

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)

解析試題分析:(Ⅰ)因?yàn)锳C和PB是異面直線,所以可以采用線面垂直得線線垂直的方法證,即先平面。要證平面需證面內(nèi)的兩條相交線PA和AB都和AC垂直。為已知條件證PA和AC垂直依據(jù)是線面垂直得線線垂直。(Ⅱ)(法一空間向量法)由題意可以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AC,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。分別設(shè)出AB,AC,AP的三邊長,故可得點(diǎn)A,點(diǎn)B點(diǎn)C點(diǎn)P的坐標(biāo),因?yàn)辄c(diǎn)D為PA中點(diǎn),即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)得到點(diǎn)G的坐標(biāo),即可求出坐標(biāo)和平面PBC的一個(gè)法向量的坐標(biāo),用向量數(shù)量積公式可求得,即,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/88/e/hpifj1.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以∥平面.(法二一般方法)由可知,G為三角形重心。設(shè)AB中點(diǎn)為E,所以G在OE上,根據(jù)中位線可得,連結(jié)并延長交,連。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/df/2/qf6tj.png" style="vertical-align:middle;" />∥,且E為AB中點(diǎn),所以G為AF中點(diǎn),所以,內(nèi)線外線平行所以得線面平行。問題得證。(Ⅲ)采用空間向量法,由(Ⅰ)可知是面PAB的一個(gè)法向量。先求兩個(gè)法向量所成的角。兩個(gè)法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)。由觀察可知此二面角為銳二面角,所以余弦值為正值。
試題解析:證明:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/e/1ps6a3.png" style="vertical-align:middle;" />平面平面,
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/4/8dvpe.png" style="vertical-align:middle;" />,且,
所以平面
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/5/153lf3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
所以.                                       4分
(Ⅱ)
解法1:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/e/1ps6a3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以,.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/4/8dvpe.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè),,,
,,
,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/3/dgyzt1.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以
于是,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量
,則有
 
不妨設(shè)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,四邊形ABCD為矩形,AD 平面ABE,AE=EB=BC=2,F為CE上的點(diǎn).且BF 平面ACE.

(1)求證:平面ADE平面BCE;
(2)求四棱錐E-ABCD的體積;
(3)設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN平面DAE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在三棱錐中,分別為的中點(diǎn).

(1)求證:EF∥平面;
(2)若平面平面,且,º,求證:平面平面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在正三棱柱中,分別為,的中點(diǎn).

(1)求證:平面
(2)求證:平面平面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖:長方形所在平面與正所在平面互相垂直,分別為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)試問:在線段上是否存在一點(diǎn),使得平面平面?若存在,試指出點(diǎn) 
的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點(diǎn),且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、,其中.

(Ⅰ)求證:平面
(Ⅱ)在線段上是否存在點(diǎn)使得平面?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

四棱錐,底面為平行四邊形,側(cè)面底面.已知,,為線段的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求面與面所成二面角大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在三棱錐中,,,D為AC的中點(diǎn),.

(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱柱中,已知平面平面,.

(1)求證:
(2)若為棱的中點(diǎn),求證:平面.

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