Question

如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，BC與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF²=FA•FB，證明：EF∥CD．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，從而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性質(zhì)可得，得到；
（II）根據(jù)題意中的比例中項(xiàng)，可得，結(jié)合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的結(jié)論∠EDC=∠EBF，利用等量代換可得∠FEA=∠EDC，內(nèi)錯(cuò)角相等，所以EF∥CD．
解答：解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得，
∴，即
∴
（Ⅱ）∵EF²=FA•FB，
∴，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．
點(diǎn)評(píng)：本題在圓內(nèi)接四邊形的條件下，一方面證明兩條直線(xiàn)平行，另一方面求線(xiàn)段的比值．著重考查了圓中的比例線(xiàn)段、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．