Question

17．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-|x-1|}+1，（x≠1）}\\{a，（x=1）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． $（0，\frac{3}{2}）$
• C． （1，2）
• D． $（1，\frac{3}{2}）∪$$（\frac{3}{2}，2）$

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可．

解答 解：作出f（x）的圖象如圖：設(shè)t=f（x），
則方程等價為2t²-（2a+3）t+3a=0，
由圖象可知，
若關(guān)于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實(shí)數(shù)解，
∴即要求對應(yīng)于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實(shí)數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=a時，它有三個根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根據(jù)2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實(shí)根，
則判別式△=（2a+3）²-4×2×3a＞0，
解得a≠$\frac{3}{2}$，
故1＜a＜$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$＜x＜2，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)和方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．