Question

11．某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)教師對(duì)本次全部數(shù)學(xué)成績(jī)按1：20進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)?yōu)闃颖�，成�?jī)用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)得到如表所示的頻率分布表：

分?jǐn)?shù)段	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	總計(jì)
頻數(shù)			c	b
頻率	a

（Ⅰ）求表中a，b，c的值，并估計(jì)這次考試全校高三數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率（成績(jī)?cè)赱90，150]內(nèi)為及格）；
（Ⅱ）設(shè)莖葉圖中成績(jī)?cè)赱100，120）范圍內(nèi)的樣本的中位數(shù)為m，若從成績(jī)?cè)赱100，120）范圍內(nèi)的樣品中每次隨機(jī)抽取1個(gè)，每次取出不放回，連續(xù)取兩次，求取出兩個(gè)樣本中恰好一個(gè)是數(shù)字m的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖知成績(jī)?cè)赱50，70）范圍內(nèi)的有2人，在[110，130）范圍內(nèi)的有3人，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）由莖葉圖得m=106，列舉出一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間，設(shè)事件A=“取出的兩個(gè)樣本中恰好有一個(gè)是數(shù)字m”，列舉出事件A包含的基本事件，由此能求出取出兩個(gè)樣本中恰好一個(gè)是數(shù)字m的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由莖葉圖知成績(jī)?cè)赱50，70）范圍內(nèi)的有2人，
在[110，130）范圍內(nèi)的有3人，
∴$a=\frac{2}{20}=0.1，b=3$，
成績(jī)?cè)赱90，110）范圍內(nèi)的頻率為1-0.1-0.25-0.25=0.4，
∴成績(jī)?cè)?-0.1-0.25-0.25=0.4范圍內(nèi)的樣本數(shù)為c=20×0.4=8，
估計(jì)這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率為：
p=1-0.1-0.25=0.65．
（Ⅱ）由莖葉圖得m=106，一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為：
Ω={（100，102），（100，102_（1）），（100，102_（2）），（100，116），
（100，118），（102，106_（1）），（102，106_（2）），（102，116），
（102，118），（106_（1），106_（2）），（106_（1），116），（106_（1），118），
（106_（2），116），（106_（2），118），（116，118）}，共15個(gè)基本事件組成；
設(shè)事件A=“取出的兩個(gè)樣本中恰好有一個(gè)是數(shù)字m”，
則A={（100，106_（1）），（100，106_（2）），（102，106_（1）），
（102，106_（2）），（106_（1），116），（106_（1），118），
（106_（2），116），106_（2），118）}，共由8個(gè)基本事件組成，
∴取出兩個(gè)樣本中恰好一個(gè)是數(shù)字m的概率為$P（A）=\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．