Question

2．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，當(dāng)tan（A-B）取最大值時(shí)，角B的值為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，由正弦定理定理可得：sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC=$\frac{1}{2}$sin（A+B），化為：tanA=3tanB＞0，代入tan（A-B），再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，由正弦定理定理可得：sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC=$\frac{1}{2}$sin（A+B），
化為：tanA=3tanB＞0，
∴tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{2tanB}{1+3ta{n}^{2}B}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{tanB}•3tanB}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即B=$\frac{π}{6}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．